Modelování a projekce

Note	Homogenní souřadnice, modelovací, pohledová a projekční matice, perspektivní a ortografická projekce. Základní afinní transformace. PV189, PV112

Souřadnicové systémy

Right-hand rule

Mnemotechnická pomůcka pro určení orientace os v kartézské soustavě souřadnic. Taky se používá pro určení směru vektorového součinu.

Tip	Osa X je dána ukazováčkem, osa Y prostředníčkem, osa Z palcem. Pokud Y míří nahoru, pak ano, člověk si u toho může vykroutit ruku, ale alespoň si to zapamatuje.

Kartézská soustava souřadnic

Right-handed systém definován třemi kolmými osami. Ve 2D jsou to $x$ a $y$ . Ve 3D jsou to $x$ , $y$ a $z$ . Jsou na sebe v zájemně kolmé. Počátek je v bodě, kde se protínají všechny osy, označovaném jako $0$ .

Homogenní souřadnice

Hack, kdy reprezentujeme souřadnici v 3D prostoru pomocí 4 čísel, abychom mohli zapsat translaci pomocí matice. Využívá se v projektivní geometrii, pro projekci 3D scén na 2D plochu.

Převod z kartézských na homogenní souřadnice: $(x, y, z) \to (x, y, z, 1)$ .

Převod z homogenních na kartézské souřadnice: $(x, y, z, w) \to (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w})$ .

Body, kde $w = 0$ jsou body v nekonečnu. Využívá se pro popis pohybu k nekonečnu, který se v kartézských souřadnicích nedá popsat.

MVP matice

Important

Pro implementaci v OpenGL viz Renderování s využitím GPU.

Warning

Při zápisu matic bacha na to, jestli jsou row-major nebo column-major. Třeba v OpenGL to znamená, že se všechny matice píší v transponované podobě, jelikož OpenGL je column-major a v takovém pořádí jsou i parametery mat2, mat3 a mat4 V GLSL.

Modelovací matice $M$

Převádí souřadnice z prostoru objektu (local space) do prostoru světa (world space). Využívá se pro rotaci ( $R$ ), škálování ( $S$ ) a translaci ( $T$ ) objektu.

M = T \cdot R \cdot S

Pohledová matice / view matrix $V$

Převádí souřadnice z prostoru světa (world space) do prostoru před kamerou (camera space). Otáčí světem, aby kamera byla jeho středem. [1]

V = R_{x} U_{x} D_{x} 0 R_{y} U_{y} D_{y} 0 R_{z} U_{z} D_{z} 0 0001 \cdot 100001000010 - P_{x} - P_{y} - P_{z} 1

kde:

$R$ je vektor, který ukazuje doprava od kamery.
$U$ je vektor, který ukazuje nahoru od kamery.
$D$ je vektor, který ukazuje dopředu od kamery.

$P$ je pozice kamery.

Note	Všimni si, že levá matice je transponovaná a poziční vektor v pravé matici je negovaný. Je to proto, že otáčíme a posouváme celým světem tak, aby kamera byla v počátku, musíme proto provést inverzní operace vůči těm, které chceme provést s kamerou. [1]

Frustum

Část 3D tělesa (nejčastěji pyramidy nebo jehlanu) mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.

Projekční matice / projection matrix $P$

Převádí souřadnice z prostoru před kamerou (camera space) do clip space.

Používá se zejména ortografická projekce ( $P_{ortho}$ ) a perspektivní projekce ( $P_{persp}$ ).

MVP matice

Pro převod modelu z jeho lokálního prostoru do clip space použijeme:

v_{clip} = P \cdot V \cdot M \cdot v_{local}

Projekce

Ortografická projekce

Používáme především k vykreslení 2D scén. Osu Z můžeme využít, abychom jeden sprite schovali za jiný. Nicméně objekty dál od kamery jsou stejně velké jako ty blízko kamery. [1]

Je dána 6 parametry:

$left$ - levá hranice (X),
$right$ - pravá hranice (X),
$bottom$ - spodní hranice (Y),
$top$ - horní hranice (Y),
$near$ - blízká hranice (Z),
$far$ - daleká hranice (Z).

Společně definují boxík, kde je $(left, bottom, - near)$ levý spodní roh a $(right, top, - far)$ pravý horní roh. Úkolem matice $P_{ortho}$ je nasoukat tento boxík do krychle $(- 1, - 1, - 1) \to (1, 1, 1)$ (a navíc flipnou Z, protože OpenGL mění handedness).

P_{ortho} = C \cdot S \cdot T = 10000100 00 - 1 0 0001 \cdot \frac{2}{right-left} 000 0 \frac{2}{top-bottom} 00 00 \frac{2}{far-near} 0 0001 \cdot 100001000010 - \frac{right+left}{2} - \frac{top+bottom}{2} - \frac{far+near}{2} 1 = \frac{2}{right - left} 000 0 \frac{2}{top - bottom} 00 00 - \frac{2}{far - near} 0 - \frac{right + left}{right - left} - \frac{top + bottom}{top - bottom} - \frac{far + near}{far - near} 1

kde:

$C$ obrací osu Z, kvůli přechodu z right-handed do left-handed (týká se OpenGL [3]),
$S$ definuje velikost kvádru, který se vleze do clip space,
$T$ posouvá počátek doprostřed kvádru.

Perspektivní projekce

Zmenšuje objekty, které jsou dále od kamery. [1]

Je definována 4 parametry:

$FOV_{y}$ - field of view (úhel zorného pole) v ose Y,
$aspect$ - poměr šířky a výšky okna,
$near$ - blízká hranice,
$far$ - daleká hranice.

V matici $P_{persp}$ se vyskytují následující mezihodnoty:

$top = near \cdot tan (\frac{FOV _{y}}{2})$ ,
$bottom = - top$ ,
$right = top \cdot aspect$ ,
$left = - right$ .

Translace frustumu

Posouváme špičku frustumu do počátku souřadného systému. [4]

T = 100001000010 - \frac{left + right}{2} - \frac{bottom + top}{2} 01

Note	Všimni si, že. Pokud používáme 4-parametrickou verzi, tak je to matice identity a tím pádem není potřeba.

Perspective divide

Objekty blíže k rovině $near$ budou větší než objekty dále. Rovina $near$ reprezentuje plochu obrazovky, na kterou jsou všechny body promítány.

Obrázek 1. Perspective divide [4]

V obrázku výše je bod $(x, y, z)$ promítnut na rovinu $near$ jako $(x^{'}, y^{'}, n e a r)$ . Vznikají tak dva trojúhelníky, které jsou si sobě podobné a proto mají stejné poměry stran. Platí tedy $\frac{y ^{'}}{near} = \frac{y}{z}$ . Pak $y^{'} = \frac{y \cdot near}{z}$ . Chceme tedy, aby platilo:

x^{'} = \frac{x \cdot near}{z} y^{'} = \frac{y \cdot near}{z}

Což můžeme vyjádřit v homogenních souřadnicích vyjadřít dělením $w$ jako:

D = near 000 0 near 00 001 - 1 0000

Velikost okna

Šířka a výška okna dána pomocí $left, right, bottom, top$ se musí vlézt do intervalu $(- 1.0, 1.0)$ , proto je potřeba provést škálování:

S = \frac{2}{right - left} 000 0 \frac{2}{top - bottom} 00 00100001

Přemapování hloubky

Chceme zachovat tu schopnost souřadnice $z$ nám říct, že něco je před něčím jiným. Potřebujeme proto přemapovat interval $(- near, - far)$ na $(- 1.0, 1.0)$ . Jelikož desetinná čísla mají tendenci vytvářet artefakty, chceme aby toto mapování bylo nelineární tak, aby bylo přesnější blíže $near$ . Použijeme $\frac{c _{1}}{- z} + c_{2}$ , kde $c_{1}$ a $c_{2}$ jsou konstanty zvoleny pomocí:

Note	Interval $(- near, - far)$ obsahuje negace, neboť kamera se dívá do -Z osy, ale tyto hodnoty zadáváme jako kladná čísla.

Note	$- z$ v rovnici výše je zodpovědné za přepnutí mezi right-handed a left-handed systémem souřadnic v OpenGL.

Obrázek 2. Depth mapping [4]

- 1.0 1.0 = \frac{c _{1}}{- ( - near )} + c_{2} = \frac{c _{1}}{- ( - far )} + c_{2}

Tedy:

c_{1} c_{2} = \frac{2 \cdot far \cdot near}{near - far} = \frac{far + near}{far - near}

Pokud $\frac{c _{1}}{- z} + c_{2}$ přepíšeme jako $\frac{( c _{1} + c _{2} \cdot ( - z ))}{- z} = \frac{( - c _{2} \cdot z + c _{1} )}{- z}$ , můžeme opět použít homogenní souřadnice a dělení $w$ a získáme:

M_{depth} = 10000100 00 - c_{2} - 1 00 c_{1} 0 = 10000100 00 - \frac{far + near}{far - near} - 1 00 \frac{2 \cdot far \cdot near}{near - far} 0

⁂

Výsledná matice je:

P_{persp} = M_{depth} \cdot S \cdot D \cdot T = \frac{2 \cdot near}{right - left} 000 0 \frac{2 \cdot near}{top - bottom} 00 00 - \frac{far + near}{far - near} - 1 - near \cdot \frac{right + left}{right - left} - near \cdot \frac{top + bottom}{top - bottom} \frac{2 \cdot far \cdot near}{near - far} 0

Tahle matice funguje pro obecné frustum dané parametry $left, right, bottom, top, near, far$ . Pokud dosadíme původní parametry za mezihodnoty:

\frac{2 \cdot near}{right - left} \frac{2 \cdot near}{top - bottom} - near \cdot \frac{right + left}{right - left} - near \cdot \frac{top + bottom}{top - bottom} = \frac{2 \cdot near}{2 \cdot right} = \frac{near}{top \cdot aspect} = \frac{near}{near \cdot tan ( \frac{FOV _{y}}{2} ) \cdot aspect} = \frac{c o t ( \frac{FOV _{y}}{2} )}{aspect} = \frac{2 \cdot near}{2 \cdot top} = \frac{near}{near \cdot tan ( \frac{FOV _{y}}{2} )} = c o t (\frac{FOV _{y}}{2}) = - near \cdot \frac{right - right}{2 \cdot right} = 0 = - near \cdot \frac{top - top}{2 \cdot top} = 0

dostaneme matici, na kterou se trochu lépe kouká: [5]

P_{persp} = \frac{c o t ( \frac{FOV _{y}}{2} )}{aspect} 000 0 c o t (\frac{FOV _{y}}{2}) 00 00 - \frac{far + near}{far - near} - 1 00 \frac{2 \cdot far \cdot near}{near - far} 0

Základní afinní transformace

Opakování z Lineární algebry II:

Afinní prostor $A$: Trojice $(A, V, \oplus)$ , kde $A$ je množina bodů, $V$ je vektorový prostor (zaměření) a $\oplus$ je binární funkce $\oplus : A \times V \to A$ .
Standardní afinní prostor $A_{n}$: Je afinní prostor $(R^{n}, R^{n}, +)$ .
Afinní kombinace bodů: Výrazy tvaru $t_{0} \cdot a_{0} + t_{1} \cdot a_{1} + ... + t_{n} \cdot a_{n}$ , kde $t_{i} \in R, a_{i} \in A$ a $\sum_{i = 0}^{n} t_{i} = 1$ .
Afinní zobrazení: Zobrazení $f : A \to A$ , které zachovává afinní kombinace bodů.

Složení nějakého lineárního zobrazení a translace.

Translace $T$

Pro posun v 2D prostoru podél osy $(x, y)$ :

T = 100010 x y 1

Pro posun ve 3D prostoru podél osy $(x, y, z)$ :

T = 100001000010 x y z 1

Rotace $R$

Pro rotaci v 2D prostoru o úhel $θ$ :

R = cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ 0 001

Pro rotaci ve 3D prostoru o úhel $θ$ :

Kolem osy $X$ :

$R = 1000 0 cos θ sin θ 0 0 - sin θ cos θ 0 0001$
Kolem osy $Y$ :

$R = cos θ 0 - sin θ 0 0100 sin θ 0 cos θ 0 0001$
Kolem osy $Z$ :

$R = cos θ sin θ 00 - sin θ cos θ 00 00100001$

Škálování / scale $S$

Pro škálování v 2D prostoru:

S = x 00 0 y 0 001

Pro škálování ve 3D prostoru:

S = x 000 0 y 00 00 z 0 0001

Zkosení / shear (asi taky $S$ )

Pro zkosení v 2D prostoru vektorem $(x, y)$ :

S = 1 y 0 x 10 001

Pro zkosení ve 3D prostoru podél plochy $Y Z$ :

S = 1000 Y 100 Z 010 0001

Podél plochy $XZ$ :

S = 1 X 00 0100 0 Z 10 0001

Podél plochy $X Y$ :

S = 10 X 0 01 Y 0 00100001