Poznámky z FI

Tip	Doporučuju kouknout na shrnutí v zápiscích z předmětu PA166 od xrosecky

Gradient $\nabla$: Vektorové pole ve směru největšího nárůstu.

Standardně ho spočítáme jako derivaci obrazu podle x a y. V praxi ale používáme aproximaci derivace podle Taylorova rozvoje.
Aproximace derivace: Taylorův polynom vypadá takto: $f (x + h) = f (x) + h f^{'} (x) + \frac{h ^{2}}{2 !} f^{''} (x) + \dots + \frac{h ^{n}}{n !} f^{(n)} (x) + O (h^{n + 1})$ .

Z něho můžeme odvodit rovnici pro první derivaci (v našem případě ji nazýváme dopředná diference):

$f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x) f^{'} (x) \approx \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$

Tu můžeme dále zpřesnit, pokud si vypíšeme taylorův rozvoj až do druhé derivace včetně (tím získáme centrální diferenci):

$h_{1} = 1, h_{2} = - 1 f (x + h_{1}) - f (x + h_{2}) f (x + 1) - f (x - 1) \approx f (x) + h f^{'} (x) + \frac{h ^{2}}{2 !} f^{''} (x) - f (x) + h f^{'} (x) - \frac{h ^{2}}{2 !} f^{''} (x) f (x + 1) - f (x - 1) \approx 2 h f^{'} (x) f^{'} (x) \approx \frac{f ( x + 1 ) - f ( x - 1 )}{2 h}$

Podobným stylem získáme i druhou derivaci