Základní principy počítačů I

Note	Číselné soustavy, vztahy mezi číselnými soustavami, zobrazení čísel v počítači, principy provádění aritmetických operací. PB150/PB151

Číselné soustavy

Číselná soustava je způsob zápisu čísel.

Nepoziční: Hodnota číslice nezávisí na jejím umístění v čísle. Jedničková souststava, římské číslice.
Poziční (polyadické): Hodnota číslice v čísle je $\overset{c}{ˇ} \overset{ı}{ˊ} slice \cdot b \overset{a}{ˊ} ze^{pozice \overset{c}{ˇ} \overset{ı}{ˊ} slice}$ . Celé číslo je součtem hodnot číslic:

$6930 1_{10} = 6 \cdot 1 0^{4} + 9 \cdot 1 0^{3} + 3 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 1 \cdot 1 0^{0}$

Soustava	Báze	Číslice
Dvojková	2	0, 1
Osmičková	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Desítková	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Šestnáctková	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f

Vztahy mezi číselnými soustavami

—	Z dvojkové	Z osmičkové	Z desítkové	Z šestnáctkové
Na dvojkovou	—	Nahraď každou osmičkovou číslici 3 bity.	Poděl dvojkou se zbytkem. Zbytky tvoří výsledek. První zbytek je nejnižší bit atd.	Nahraď každou šestnáctkovou číslici 4 bity.
Na osmičkovou	Nahraď každé 3 bity odpovídající osmičkovou číslicí.	—	Poděl osmičkou se zbytkem. Zbytky tvoří výsledek. První zbytek je číslice nejnižšího řádu atd.	Převeď do binární a následně do osmičkové.
Na desítkovou	$x yz = x \cdot 2^{2} + y \cdot 2^{1} + z \cdot 2^{0}$	$x yz = x \cdot 8^{2} + y \cdot 8^{1} + z \cdot 8^{0}$	—	$x yz = x \cdot 1 6^{2} + y \cdot 1 6^{1} + z \cdot 1 6^{0}$
Na šestnáctkovou	Nahraď každé 4 bity odpovídající šestnáctkovou číslicí.	Převeď do binární a následně do hexadecimální.	Poděl 16 se zbytkem. Zbytky tvoří výsledek. První výsledek je číslice nejnižšího řádu atd.	—

—

Z dvojkové

Z osmičkové

Z desítkové

Z šestnáctkové

Na dvojkovou

—

Nahraď každou osmičkovou číslici 3 bity.

Poděl dvojkou se zbytkem. Zbytky tvoří výsledek. První zbytek je nejnižší bit atd.

Nahraď každou šestnáctkovou číslici 4 bity.

Na osmičkovou

Nahraď každé 3 bity odpovídající osmičkovou číslicí.

—

Poděl osmičkou se zbytkem. Zbytky tvoří výsledek. První zbytek je číslice nejnižšího řádu atd.

Převeď do binární a následně do osmičkové.

Na desítkovou

$x yz = x \cdot 2^{2} + y \cdot 2^{1} + z \cdot 2^{0}$

$x yz = x \cdot 8^{2} + y \cdot 8^{1} + z \cdot 8^{0}$

—

$x yz = x \cdot 1 6^{2} + y \cdot 1 6^{1} + z \cdot 1 6^{0}$

Na šestnáctkovou

Nahraď každé 4 bity odpovídající šestnáctkovou číslicí.

Převeď do binární a následně do hexadecimální.

Poděl 16 se zbytkem. Zbytky tvoří výsledek. První výsledek je číslice nejnižšího řádu atd.

—

Zobrazení čísel v počítači

Bez znaménka

Sekvence $n$ bitů bez znaménka dokáže vyjádřit čísla $[0, 2^{n} - 1]$ .

Přímý kód

Nejvyšší bit v sekvenci $n$ bitů značí znaménko. Má dvě nuly a špatně přetéká. Dokáže vyjádřit čísla $[- (2^{n - 1} - 1), 2^{n - 1} - 1]$ .

Inverzní kód

Záporné číslo lze získat inverzí čísla kladného. (Znaménkový bit má tím pádem taky.) Má dvě nuly a přetečení funguje. Dokáže vyjádřit čísla $[- (2^{n - 1} - 1), 2^{n - 1} - 1]$ .

Dvojkový doplňkový kód

Záporné číslo lze získat inverzí čísla kladného a přičtením 1. Má jen jednu nulu a přetečení funguje. Dokáže vyjádřit čísla $[- 2^{n - 1}, 2^{n - 1} - 1]$ .

Binary Coded Decimal (BCD) kód

Binární zápis decimálních čísel. Využívá faktu, že to 4 bitů se vlezou číslice 0-9.

Rozvinutý (unpacked) BCD kód

Co číslice to bajt.

9	1	8	4	6
F9	F1	F8	F4	C6

-9	1	8	4	6
F9	F1	F8	F4	D6

-9

Zhuštěný (packed) BCD kód

Co číslice to nibble (4 bity) kromě první číslice, která v horní části bajtu obsahuje znaménko.

9	1	8	4	6
9	1	8	4	C6

-9	1	8	4	6
9	1	8	4	D6

-9

Kód s posunutou nulou

Posouvá nulu o nějakou konstantu. Třeba pro 8-bitová čísla je možné $0000000 0_{2}$ považovat za $- 12 7_{10}$ a $1111111 1_{2}$ za $12 8_{10}$ .

Reálná čísla (IEEE 754)

IEEE 754 je formát zápisu čísel s desetinnou čárkou.

znaménko	exponent	mantissa
1 bit	8 bitů	23 bitů

znaménko

exponent

mantissa

1 bit

8 bitů

23 bitů

Mantissa: Číslo v přímém kódu, ale číslice nejvyššího řádu je vlevo. Resp. číslice druhého nejvyššího řádu je vlevo, neboť číslice nejvyššího řádu je 1, a proto se vynechává.
Exponent: Je v kódu s posunutou nulou. Nejnižší reprezentovatelný exponent je 1. 0 je rezervována pro denormalizované čísla.
Normalizovaná čísla: Exponent není 0 ani 255. Mantissa udává desetinnou část za 1.

$\pm 1. mantissa \cdot 2^{exponent}$
Denormalizovaná čísla: Čísla okolo nuly, která nelze vyjádřit normalizovaně. Exponent je 0. Mantisa udává desetinnou část za 0.

$\pm 0. mantissa \cdot 2^{- 126}$
Nekonečno: Exponent je 255, mantissa je 0, znaménko udává, jestli jde o $\infty$ nebo $- \infty$ .
Not-a-Number (NaN): Nečíselné hodnoty. Exponent je 255, mantissa a znaménko může být cokoliv.
Příklad: $12. 5_{10} = 1100. 1_{2} = 1.100 1_{2} \cdot 2^{3} ⇝ 0|1000010|10010000000000000000000$

Vnější kódy

Zobrazení mezi čísly a znaky. Každý znak má svoji ordinální hodnotu.

Jednobajtová kódování: Lexikálně uspořadáné zobrazení mezi čísly z rozsahu $[0, 256)$ a znaky. Nejstandardnější je 7-bitové ASCII pokrývající potřeby anglické abecedy.

Existuje řada 8-bitových rozšíření ASCII pro českou abecedu. Např. Windows-1250 a IS0 8859-2.
Vícebajtová kódování: Znaky za hranicemi ASCII jsou vyjádřeny více bajty. Standardem je Unicode a jeho formát UTF-8.

Pořadí bajtů

Procesory a další zařízení se mohou lišit v pořadí bajtů v čísle. Např. pro hexadecimální číslo 4A 3B 2C 1D.

Little-endian: ,,Little end first.''

Bajt nejnižšího řádu je na nižší adrese. Tedy pokud adresy stoupají zleva doprava, pak v paměti bude 1D 2C 3B 4A. Používají procesory z rodiny Intel x86.
Big-endian: ,,Big end first.''

Bajt nejvyššího řádu je na nižší adrese. Pokud adresy stoupají zleva doprava, pak v paměti bude 4A 3B 2C 1D.

Principy provádění aritmetických operací

Sčítání v inverzním kódu: U sčítání v inverzním kódu provádíme kruhový přenos. Přenos + nejvyšší řád přičteme k výsledku.
Sčítání v dvojkovém doplňkovém kódu: Při sčítání se přenosy se znaménkového bitu ignorují. Přetečení nastává, pokud se nerovná přenos ze znaménkového bitu do znaménkového bitu.

Sčítání v IEEE 754

denormalizujeme - doplníme jedničku k mantise
srovnáme exponenty
sečteme
zpátky normalizujeme - opět odebereme jedna od mantisy