Statistika

Note	Popisná statistika, střední hodnota, medián, rozptyl, korelace. Odhady statistik a jejich spolehlivost. Distribuční funkce, rozdělení náhodných veličin a jejich příklady. MB103/MB203

Popisná statika

Popisuje charakteristiky dané množiny dat.

Note	Matematická statistika je aplikací teorie pravděpodobnosti, matalýzy, lingebry, atd. na statistiku.

Statistický soubor $X$

Zkoumaná množina objektů.

Statistická jednotka $x_{i}$

Prvek statistického souboru.

Statistický znak

Vlastnost statistických jednotek.

Soubor hodnot

(Uspořádaná) množina možných hodnot statistického znaku.

Měřítko

Porovnává hodnoty.

nominální — mezi hodnotami není žádný vztah (např. politické strany).
ordinální měřítko — mezi hodnotami není žádný vztah, ale lze je uspořádat (např. A, B, C, D).
intervalové měřítko — porovnání velikostí, ale ne absolutní hodnota (např. teplota, kde poloha nuly není relevantní).
poměrové měřítko — pevně stanované měřítko i nula (např. délka v cm).

Míry polohy

Hodnoty kolem, kterých se výsledky měření zhromažďují. Mají smysl u znaků s poměrovým nebo intervalovým měřítkem.

Střední hodnota (mean / expected value) E(X): Aritmetický průměr souboru hodnot $x_{i} \in X$ vážený jejich pravděpodobností $P (x_{i})$ (resp. $f (x_{i})$ ) je

$E (X) E (X) = i = 1 \sum n x_{i} \cdot P (x_{i}), pro diskr \overset{e}{ˊ} tn \overset{ı}{ˊ} veli \overset{c}{ˇ} inu = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f (x) d x, pro spojitou veli \overset{c}{ˇ} inu$

Pokud se všech $n$ hodnot vyskytuje se stejnou pravděpodobností (či ve stejném počtu), pak

$E (X) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i} .$
$α$ -kvantil $Q_{α}$: Dělí statický soubor na stejně velké části.
Medián: Prostřední prvek uspořádaného statistického souboru. Kvantil $Q_{0.5}$ .

$\tilde{x} = {x_{\frac{n + 1}{2}} \frac{1}{2} (x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}) pro lich \overset{e}{ˊ} n pro sud \overset{e}{ˊ} n$
Percentil: Výběrový kvantil ( $p$ -tý kvantil, kde $0 < p < 1$ ) $Q_{p}$ .
Modus: Hodnota s největší četností.

Míry variability

Jak moc se od sebe prvky liší (nezávisle na konstantním posunutí)?

Rozptyl

Střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty.

var (X) = E ((x_{i} - E (X))^{2})

Nebo jinými slovy:

Pro každý prvek spočti odchylku — o kolik se liší od střední hodnoty.
Všechny odchylky dej na druhou.
Spočítej průměr odchylek na druhou.

Směrodatná odchylka

S (X) = var (X)

Kovariance veličin $X$ a $Y$

Měří určitou podobnost mezi $X$ a $Y$ .

cov (X, Y) = E ((X - E (X)) \cdot (Y - E (Y)))

Ze vzorce výše plyne

cov (X, X) cov (X, Y) cov (X, Y) = var (X) = cov (Y, X) = E (X \cdot Y) - E (X) \cdot E (Y)

Korelace

Míra podobnosti $ρ_{X, Y}$ náhodných veličin $X$ a $Y$ . Pokud $X = X$ , pak $ρ_{X, X} = 1$ . Pokud jsou $X$ a $Y$ nezávislé, pak $ρ_{X, Y} = 0$ .

ρ_{X, Y} = \frac{cov ( X , Y )}{var ( X ) \cdot var ( Y )} = \frac{E (( X - E ( X )) \cdot ( Y - E ( Y )))}{var ( X ) \cdot var ( Y )}

Rozdělení pravděpodobnosti

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny $X$ je funkce $P (X)$ resp. $P_{X}$ , která každé hodnotě popisované touto veličinou přidělí pravděpodobnost.

Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny $X$ je funkce $ρ (X)$ resp. $ρ_{X}$ , která každé hodnotě popisované touto veličinou přidělí pravděpodobnost.

Note

Náhodná veličina je zobrazení $X : Ω \to E$ . Rozdělení pravděpodobnosti je zobrazení $P (X) : E \to R$ .

Dejme tomu, že u šestistěnky jsou jednotlivé stěny kostky prvky $Ω$ . Náhodnou veličinou stěn kostky může být třeba počet hran, barva nebo číslo, co je na ní napsané. V případě čísla je $X : Ω \to {1, 2, ..., 6}$ , takže $P (X) : {1, 2, ...6} \to R$ , přičemž u férové kostky platí $P (X) (t) = P_{X} (t) = \frac{1}{6}$ , pro $t \in {1, 2, ..., 6}$ .

Distribuční funkce

Jaké je pravděpodobnost, že to bude nejvýše tahle hodnota?

U diskrétní veličiny $X$ je to funkce

F_{X} (x) = P (X \leq x) = t \leq x \sum P_{X} (t),

kde $0 \leq F_{X} (x) \leq 1$ .

U spojité veličiny $X$ je to funkce

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} ρ_{X} (t) d t

Platí $F_{X} (- \infty) = 0$ a $F_{X} (\infty) = 1$ .

Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti $P (x_{1} < X \leq x_{2}) = F_{X} (x_{2}) - F_{X} (x_{1})$ .

U diskrétních veličin

Degenerované rozdělení $D_{g} (μ)$: Pro veličinu $X$ , která nabývá jen konstantní hodnoty $μ$ .

$P_{X} (t) = {10 t = μ jinak$

$F_{X} (t) = {10 t \geq μ t < μ$
Alternativní rozdělení $A (p)$: Pro veličinu $X$ , jejíž výsledek může být jen zdar (1) nebo nezdar (0) s pravděpodobností $p$ a $1 - p$ .

$P_{X} (t) = {p 1 - p t = 1 t = 0$

$F_{X} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 1 - p 1 t < 0 0 \leq t < 1 t \geq 1$
Binomické rozdělení $B i (n, p)$: Pro veličinu $X$ měřící počet zdarů $n$ nezávislých pokusů s alternativním rozdělením $A (p)$ .

$P_{X} (t) = {(t n) \cdot p^{t} \cdot (1 - p)^{n - t} 0 t \in {0, 1, ..., n} jinak$

Pro velké $n$ konverguje k normálnímu $N (n p, n p \cdot (1 - p))$ .
Poissonovo rozdělení $P o (λ)$: Pro veličinu $X$ vyjadřující počet výskytů jevů v určitém intervalu (času, délce, …) parametrizovaném $λ$ , když jevy nastávají nezávisle na sobě.

$P_{X} (t) = \frac{λ ^{x}}{x !} \cdot e^{- λ}$

U spojitých veličin

Rovnoměrné rozdělení $R_{S} (a, b)$: Pro veličiny $X$ s konstantní pravděpodobností na intervalu $(a, b)$ .

$ρ_{X} (t) = {\frac{1}{b - 1} 0 t \in (a, b) jinak$

$F_{X} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{t - a}{b - a} 1 t \leq a t \in (a, b) t \geq b$
Exponenciální rozdělení $e x (λ)$: $ρ_{X} (t) = {λ \cdot e^{- λ \cdot t} 0 t > 0 t \leq 0$

$F_{X} (t) = {1 - e^{- λ \cdot t} 0 t > 0 t \leq 0$
Normální rozdělení $N (μ, σ^{2})$: Pro veličiny $X$ jejichž hustota pravděpodobnosti vypadá jako Gaussova křivka parametrizovaná střední hodnotou $μ$ a rozptylem $σ^{2}$ .

$ρ_{X} (t) = \frac{1}{2 π} \cdot e^{\frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}$
Standardní normální rozdělení $N (0, 1)$: $ρ_{X} (t) = \frac{1}{2 π} \cdot e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$

$F_{X} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$

Odhady

Hodnota (bodový odhad) nebo interval hodnot (intervalový odhad), do kterého veličina s určitou pravděpodobností spadá.

Interval spolehlivosti: Intervalový odhad pro veličinu $X$ se spolehlivostí $1 - α$ , kde $α \in [0, 1]$ , je dvojice $(T_{D}, T_{H})$ . Platí

$P (T_{D} \leq X \leq T_{H}) = 1 - α$ .

Hodnotě $α$ se říká hladina spolehlivosti. Střed intervalu $(T_{D}, T_{H})$ nazveme bodovým odhadem.