Matematická analýza

Note	Vlastnosti reálných funkcí, polynomy, spojité funkce a limity, derivace, neurčitý a určitý integrál, geometrický význam. Diferenciální rovnice a jejich význam. MB102/MB202, MB103/MB203

Reálné funkce

Funkce $f : R \to R$ je reálná. Každému $x \in D_{f}$ z definičního oboru přidelí nanejvýš jedno $y \in H_{f}$ z oboru hodnot.

Prostá (injektivní) funkce: Pro každý prvek oboru hodnot existuje nejvýše jeden prvek definičního oboru, který se na něj zobrazí.

$(\forall x, y \in D_{f}) (x \neq = y ⟹ f (x) \neq = f (y))$
Inverzní funkce $f^{- 1}$: $f (x) = y ⟺ f^{- 1} (y) = x$
Funkce $f$ periodická s periodou $P$: $(\forall x \in D_{f}) (f (x + P) = f (x))$

Patří sem např. sinus, cosinus, tangens a cotangens.

Monotonie

Vlastnost popisující směr funkce globálně ( $\forall x, y \in D_{f}$ ) nebo v daném intervalu.

Rostoucí funkce: $x < y ⟹ f (x) < f (y)$
Klesající funkce: $x < y ⟹ f (x) > f (y)$
Neklesající funkce: $x < y ⟹ f (x) \leq f (y)$
Neroustoucí funkce: $x < y ⟹ f (x) \geq f (y)$
Konstantní funkce: $x < y ⟹ f (x) = f (y)$

Parita

Funkce je nějakým způsobem symetrická podle 0.

Sudá funkce: $(\forall x \in D_{f}) (f (x) = f (- x))$
Lichá funkce: $(\forall x \in D_{f}) (f (x) = - f (- x))$

Omezenost

Shora omezená funkce: $(\exists u \in R) (\forall x \in D_{f}) (u > f (x))$
Zdola omezená funkce: $(\exists l \in R) (\forall x \in D_{f}) (l < f (x))$

Spojitost

Funkce $f$ je spojitá v bodě $x_{0}$ , jestliže je v tomto bodě definována a $x \to x_{0} lim f (x) = f (x)$ .

Každý polynom je spojitou funkcí na celém $R$ .

Pro funkce $f, g$ spojité v $x_{0}$ platí $f + g$ je spojitá a $f \cdot g$ je spojitá.

Polynomy

Polynom je výraz tvaru $p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot x^{i} = a_{0} \cdot x^{0} + a_{1} \cdot x^{1} + ... + a_{n} \cdot x^{n}$ , kde

$n \in N$ je stupeň polynomu,
$a_{i} \in R$ je i-tý koeficient.

Limita

Limita je hodnota, která sice není v oboru funkce, ale funkce se k ní tak nějak blíží.

Limita posloupnosti: Posloupnost $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ má limitu $a$ , jestliže

$(\forall ε > 0) (\exists n_{0} \in N) (\forall n \in N) (n > n_{0} ⟹ ∣ a_{n} - a ∣ < ε)$

Tedy hodnoty posloupnosti jsou od určitého bodu vzdáleny méně než libovolné $ε$ .
Limita funkce: Funkce $f$ má v bodě $x_{0}$ limitu $L$ , jestliže platí

$(\forall ε > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in (x_{0} - δ, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + δ)) (∣ f (x) - L ∣ < ε)$ .

Tedy $f$ má v $x_{0}$ limitu $L$ , jestliže se $f (x)$ liší od $L$ jen velice málo, pokud je $x$ fakt blízko $x_{0}$ .

Píšeme $x \to x_{0} lim f (x) = L$ .
Limita zprava: Uvažuje jen pravé okolí bodu $x_{0}$ . Tedy ve vzorci výše pouze $x \in (x_{0}, x_{0} + δ)$ .
Limita zleva: Uvažuje jen levé okolí bodu $x_{0}$ . Tedy ve vzorci výše pouze $x \in (x_{0} - δ, x_{0})$ .

Derivace

Kdyby funkce byla kopec, jak blbě by se na něj lezlo?

Směrnice tečny funkce. Pokud je kladná, funkce roste. Pokud je záporná, funkce klesá.

Funkce $f$ má v bodě $x_{0}$ derivaci $a$ , právě když existuje limita

x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = a

Derivace je vlastní ( $a \in R$ ) nebo nevlastní ( $\infty/ - \infty$ ) v závislosti na limitě. Analogicky derivace zprava/zleva.

Note	Vzorečky viz kdekoliv jinde.

Určení monotonnosti funkce

$f^{'} (x) > 0 ⟹ f je rostouc \overset{ı}{ˊ}$
$f^{'} (x) < 0 ⟹ f je klesaj \overset{ı}{ˊ} c \overset{ı}{ˊ}$

Určení lokálních extrémů (maximum/minimum)

$f^{'} (x) = 0$ nebo neexistuje. Derivace mění při průchodu přes tento bod znaménko.

Určení konvexnosti/konkávnosti

$f^{''} (x) > 0 ⟹ f je konvexn \overset{ı}{ˊ}$
$f^{''} (x) > 0 ⟹ f je konk \overset{a}{ˊ} vn \overset{ı}{ˊ}$
Pokud $f^{''} (x) > 0$ nebo neexistuje, pak $x$ je inflexní bod — bod mezi konvexou a konkávou.

Note
,,Do konkávy kávu nenaliješ.''

Integrace

Kdyby funkce byla kopec, kolik hlíny je pod ním? Kolik pod mojí parcelou? Kolik pod… ještě ani nevím, pod jakou parcelou.

Integrál je opak derivace. Geometricky, dává plochu pod křivkou — obsah, objem nebo větší šílenost.

Neurčitý integrál

Primitivní funkce $F$ k funkci $f$ je na každém intervalu $[a, b]$ určena jednoznačně až na aditivní konstantu ( $c$ ). Výsledkem neurčitého integrálu je tak množina primitivních funkcí k $f$ .

F (x) = \int f (x) d x F^{'} (x) = f (x)

Určitý (Newtonův) integrál

Odpovídá ploše pod křivkou vymezenou $f (x)$ , $x = a$ , $x = b$ a osou x. Může být i záporný. V takovém případě je (alespoň z větší části) pod osou x.

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Note	$F (x)$ ve vzorci výše může být kterákoliv z primitivních funkcí k $f$ . Stejně se konstanta $c$ vyruší.

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice prvního řádu je vztah mezi hodnotou funkce $y$ v proměnné $t$ , její derivací $y^{'}$ a samotnou proměnnou $t$ .

F : R^{3} \to R F (y^{'}, y, t) = 0

Řešením diferenciální rovnice je funkce nebo množina funkcí.

Použití

Ve fyzice, chemii, ekonomii, strojírenství, atd.

Příklady:

Rovnice kontinuity: Vyjadřuje zákon zachování nějaké veličiny.
Rovnice difůze: Popisuje pohyb částic rozpouštějících se např. ve vodě.
Telegrafní rovnice: Popisují napětí a proud ve vedení v závislosti na vzdálenosti a čase.