Lineární algebra II

Note	Vlastní čísla a vektory, jejich geometrický význam, inverzní matice, vektorové podprostory, vektorové báze. Afinní objekty, afinní transformace. MB101/MB201

Vektorový prostor

Note	Navazuje na I04 — Lineární algebra I.

Vektorový podprostor: Pro vektorový prostor $V$ je podmnožina $M \subseteq V$ vektorovým podprostorem, jestliže spolu se zúženými operacemi $+$ a $\cdot$ je sama vektorovým prostorem. Takže chceme, aby $(\forall a, b \in K) (\forall v, w \in M) (a \cdot v + w \cdot b \in M)$ .
Generátor podprostoru: Podmnožina $M \subseteq V$ je generátor podprostoru $⟨ M ⟩ = {a_{1} \cdot u_{1} + a_{2} \cdot u_{2} + ... + a_{k} \cdot u_{k} ∣ k \in N, a_{i} \in K, u_{j} \in M, j = 1... k}$ .
Báze: Podmnožina $M \subseteq V$ se nazývá báze vektorového prostoru $V$ , jestliže $⟨ M ⟩ = V$ a $M$ je lineárně nezávislá.
Dimenze: Počet prvků báze. Pokud je konečná, je prostor konečně rozměrný.
Souřadnice vektorů: Máme-li bázi $(v_{1}, v_{2}, ..., v_{n})$ konečně rozměrného vektorového prostoru $V$ , pak můžeme každý vektor jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z báze: $v = a_{1} \cdot v_{1} + a_{2} \cdot v_{2} + ... + a_{n} \cdot v_{n}$ . N-tice $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ jsou souřadnice vektoru $v$ ve zvolené bázi.

Vlastní čísla a vektory

Skaláry $λ$ vyhovující rovnici $f (u) = λ \cdot u$ pro nenulový vektor $u \in V$ nazýváme vlastní čísla zobrazení $f$ . Příslušné vektory $u$ jsou vlastní vektory zobrazení $f$ .

Geometricky, vlastní vektor je vektor, jehož směr se po aplikaci transformace, pro níž je vlastní, nemění. Může se však změnit jeho velikost. Vlastní číslo je pak koeficient změny velikosti vlastního vektoru.

Vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.

Vlastní prostor $Eigen (λ)$: Množina všech vlastních vektorů příslušejících jednomu vlastnímu číslu $λ$ .
Algebraická násobnost vlastního čísla $λ$: Násobnost $λ$ jako kořenu charakteristického polynomu.
Geometrická násobnost vlastního čísla $λ$: Dimenze $Eigen (λ)$ .

Charakteristický polynom

Pro čtvercovou matici $A$ dimenze $n$ nad $K$ nazýváme polynom $∣ A - λ \cdot E ∣ \in K_{n} [λ]$ charakteristickým polynomem matice $A$ . Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice.

Příklad: $A = (- 3 - 5 24), A - λ E = (- 3 - λ - 5 2 4 - λ)$

$∣ A - λ E ∣ = (- 3 - λ) (4 - λ) - (- 10) = λ^{2} - λ - 2 = (λ - 2) (λ + 1)$

Tedy vlastními čísly jsou $λ_{1} = - 1, λ_{2} = 2$ .

Výpočet vlastního vektoru

Vlastní vektor je výsledkem řešení soustavy lineárních rovnic, kterou získám dosazením příslušného vlastního čísla do rovnice: $A - λ \cdot E = 0$

Příklad: $A = (- 3 - 5 24), λ = 2$

$A \cdot u = (- 3 - 5 24) - 2 \cdot (1001) \sim (- 3 - 5 24) \cdot (2002) \sim (- 5 - 5 22)$

$- 5 x + 2 y = 0, x = \frac{2}{5} y, y = \frac{5}{2} x$

Po dosazení $x = 2$ , je $(5 2)$ vlastní vektor matice $A$ příslušející vlastnímu číslu $λ = 2$ .

Inverzní matice

Matice $A^{- 1}$ taková, že $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = E$ , kde $E$ je jednotková matice.

Platí $(A \cdot B)^{- 1} = A^{- 1} \cdot B^{- 1}$ .

Výpočet inverzní matice

Z regulární matice $A$ (čtvercové, bez lineárně závislých řádků).

Vedle matice $A$ připiš jednotkovou matici.
Proveď Gaussovu eliminaci, dokud na místě původní matice není jednotková matice.
Na místě původní jednotkové matice je nyní inverzní matice k $A$ .

Afinní prostor

Afinní prostor $A$ je trojice $(A, V, \oplus)$ , kde $A$ je množina bodů, $V$ je vektorový prostor (zaměření) a $\oplus$ je binární funkce $\oplus : A \times V \to A$ .

(\exists0 \in V) (\forall a \in A) (\forall a \in A) (\forall v, w \in V) (\forall a, b \in A) (\exists! v \in V) Space (a \oplus 0 = a) Space (a \oplus (v + w) = (a \oplus v) \oplus w) Space (a \oplus v = b), zna \overset{c}{ˇ} \overset{ı}{ˊ} me v = b - a = A B

Funkce $\oplus$ má nulový prvek, je asociativní a pro každé dva body $a, b \in A$ existuje právě jeden vektor $v \in V$ takový, že $a + v = b$ .

Standardní afinní prostor $A_{n}$: Je afinní prostor $(R^{n}, R^{n}, +)$ .
Afinní soustava souřadnic: Vznikne zafixováním jednoho bodu — počátku afinní souřadné soustavy. Od tohoto bodu měříme vzdálenost.
Afinní podprostor: Neprázdná podmnožina $Q \subseteq A$ afinního prostoru $A$ se zaměřením $V$ je afinní podprostor v $A$ , pokud $W = {b - a ∣ a, b \in Q} \in V$ vektorovým podprostorem a pro libovolné $a \in Q, v \in W$ je $a + v \in Q$ .

Afinní podprostory odpovídají množinám řešení systémů $n - k$ lineárně nezávislých rovnic v $n$ proměnných, kde $n$ je dimenze prostoru a $k$ je dimenze podprostoru.

Průnik afinních podprostorů je afinní podprostor nebo prázdná množina.
Afinní kombinace bodů: Výrazy tvaru $t_{0} \cdot a_{0} + t_{1} \cdot a_{1} + ... + t_{n} \cdot a_{n}$ , kde $t_{i} \in R, a_{i} \in A$ a $\sum_{i = 0}^{n} t_{i} = 1$ .

Afinní transformace

Zobrazení $f : A \to B$ mezi afinními prostory je afinní zobrazení, jestliže mezi jejich zaměřeními existuje lineární zobrazení $φ : Z (A) \to Z (B)$ takové, že pro všechny $a \in A, v \in Z (A)$ platí $f (a + v) = f (a) + φ (v)$ .

Afinní zobrazení jsou právě ta, co zachovávají afinní kombinace bodů.

Afinní transformace jsou afinní zobrazení afinního prostoru na sebe samý $t : A \to A$ , která zachovává rovnoběžnost. Každou afinní transformaci lze chápat jako složení lineárních transformací (zvětšení/zmenšení, rotace, zkosení, …) a posunutí (translace).

Jelikož obyčejné násobení matic zobrazí počátek soustavy souřadnic sám na sebe, používají afinní transformace homogenní souřadnice. Vylezou o dimenzi výš, aby pak mohly tvrdit, že původní afinní prostor je na $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, 1)$ .

Homogenní souřadnice n-dimenzionálního afinního prostoru tedy mají tvar $(a_{1}, ..., a_{2}, w)$ , kde $w \in K$ . Před aplikací zobrazení je vstupnímu bodu dáno $w = 1$ . Po aplikaci lze výsledek převést zpět z homogonenních souřadnic takto

(b_{1}, b_{2}, ..., w) ⇝ (\frac{b _{1}}{w}, \frac{b _{2}}{w}, ..., \frac{b _{n}}{w}) .

Zvětšení/zmenšení: $s_{x} 00 0 s_{y} 0 000$
Rotace: $cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ 0 001$
Posunutí: $100000 t_{x} t_{y} 1$

Euklidovský prostor

Standardní bodový euklidovský prostor $E_{n}$ je afinní prostor $A$ , jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor $R^{n}$ se skalárním součinem $⟨ x, y ⟩ = y^{T} \cdot x$ .

Note	Zdá se, že ,,standardní euklidovský prostor'' je prostě konečně-rozměrný vektorový prostor $R^{n}$ .

Kartézská souřadná soustava: Afinní souradná soustava $(A_{0}, \underline{u})$ s ortonormální bází $\underline{u}$ .
Vzdálenost bodů $a, b \in E_{n}$: Velikost vektoru $∥ b - a ∥$ . Píšeme $ρ (a, b)$ .