Lineární algebra I

Note	Operace s vektory a maticemi, vlastnosti lineárních operací a skalárního součinu, řešení systému lineárních rovnic. Gaussova eliminace, determinant. MB101/MB201

Vektorový prostor

Vektorový prostor $V$ nad polem skalárů $K$ je množina s operacemi $+$ a $\cdot$ , kde $(\forall a, b, c \in V) (\forall x, y \in K)$ :

Axiom	Formulka
Asociativita ke sčítání	$(a + b) + c = a + (b + c)$
Komutativita	$a + b = b + a$
Neutrální prvek ke sčítání	$(\exists0 \in V) (a + 0 = a)$
Inverzní prvek ke sčítání	$(\exists d \in V) (a + d = 0)$
—	—
Distributivita násobení vektoru skalárem vzhledem ke sčítání vektorů	$x \cdot (a + b) = x \cdot a + x \cdot b$
Distributivita násobení vektoru skalárem vzhledem ke sčítání skalárů	$(x + y) \cdot a = x \cdot a + y \cdot a$
Asociativita k násobení	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Neutrální prvek k násobení	$(\exists1 \in K) (1 \cdot a = a)$

Axiom

Formulka

Asociativita ke sčítání

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Komutativita

$a + b = b + a$

Neutrální prvek ke sčítání

$(\exists0 \in V) (a + 0 = a)$

Inverzní prvek ke sčítání

$(\exists d \in V) (a + d = 0)$

—

Distributivita násobení vektoru skalárem vzhledem ke sčítání vektorů

$x \cdot (a + b) = x \cdot a + x \cdot b$

Distributivita násobení vektoru skalárem vzhledem ke sčítání skalárů

$(x + y) \cdot a = x \cdot a + y \cdot a$

Asociativita k násobení

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Neutrální prvek k násobení

$(\exists1 \in K) (1 \cdot a = a)$

Prvky $V$ nazýváme vektory.

Warning

Z definice výše neplyne nutně, že vektory jsou n-tice.

Note	Pole (komutativní těleso, těleso, field) je algebraická struktura, trojice $(T, +, \cdot)$ , která je okruh a navíc má násobení inverzní prvek a je komutativní.

Note	Okruh (ring) je algebraická struktura, trojice $(R, +, \cdot)$ , kde $(R, +)$ je komutativní grupa a $(R, \cdot)$ je pologrupa.

Note	Komutativní grupa (Abelova grupa) je algebraická struktura $(G, )$ , která je grupa navíc je operace $$ komutativní.

Note	Grupa (group) je algebraická struktura $(G, *)$ , která je…

Lineární kombinace: Lineární kombinace vektorů je výraz tvaru $a_{1} \cdot v_{1} + a_{2} \cdot v_{2} + ... + a_{n} \cdot v_{n}$ , kde $v_{i}$ jsou vektory a $a_{i}$ jsou skaláry.
Lineárně nezávislé vektory: Vektory $v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}$ jsou lineárně nezávislé, jestliže jediná jejich lineární kombinace je ta s nulovými $a_{i}$ .
Lineární zobrazení: Zobrazení $f$ je lineární, pokud $f (a + b) = f (a) + f (b)$ a $f (α \cdot a) = α \cdot f (a)$ , kde $a, b$ jsou vektory a $α$ je skalár.

Skalární součin

Skalární součin na vektorovém prostoru $V$ nad $R$ je zobrazení $⟨, ⟩ : V \times V \to R$ , které je symetrické, lineární a takové, že $⟨ v, v ⟩ \geq 0$ a $∥ v ∥^{2} = ⟨ v, v ⟩ = 0$ , právě tehdy když $v = 0$ .

Ve vektorových prostorech tvaru $R^{n}$ (n-tice) platí $⟨ v, w ⟩ = (v_{1} \cdot w_{1}, v_{2} \cdot w_{2}, ..., v_{n} \cdot w_{n})$ .

Geometricky, jestliže $⟨ v, w ⟩ = 0$ , pak vektory $v, w$ jsou kolmé (ortogonální). Obecněji, výsledek je délka vektoru, který vznikne promítáním $v$ na $w$ :

⟨ v, w ⟩ = ∥ v ∥ \cdot ∥ w ∥ \cdot cos θ

Pokud $∥ v ∥ = ∥ w ∥ = 1$ , pak je skalární součin cosinus úhlu sevřeného mezi $v$ a $w$ .

Warning

Při

⟨ v, v ⟩

vektor

v

nesvírá sám se sebou ,,žádný'' ani ,,nekonečný'' úhel, ale nulový.

Vektorový součin

Operace $\times : R^{3} \times R^{3} \to R^{3}$ ve vektorovém prostoru $R^{3}$ .

v \times w = (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})

Výsledný vektor je kolmý na $v$ i $w$ a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku daného $v$ a $w$ .

Matice

Matice $A$ typu $m ∣ n$ (někdy taky $m \times n$ ) nad $K$ je zobrazení $A : {1, ..., m} \times {1, ..., n} \to K$ .

Note	Matice je také obdélkové schéma s $m$ řádky a $n$ sloupci, ale v tomhle kontextu je to spíš to zobrazení.

Řádky matice $A$: $(a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, ..., a_{i_{n}}) \in K^{n}, i \leq m$ jsou řádky matice $A$ .
Sloupce matice $A$: $(a_{j_{1}}, a_{j_{2}}, ..., a_{j_{m}}) \in K^{m}, j \leq n$ jsou sloupce matice $A$ .
Diagonály: (Hlavní) diagonála je $(a_{1, 1}, a_{2, 2}, ...)$ . Vedlejší diagonála je $(a_{1, n}, a_{2, n - 1}, ...)$ .
Nulová matice: Obsahuje samé nuly.
Čtvercová matice: Matice tvaru $n ∣ n$ .
Jednotková matice $E$: Matice s jedničkami na diagonále. Zobrazení identity.
Opačná matice: Matice $- A$ taková, že $A + (- A) = 0$ .
Schodovitá matice: Každý řádek má před prvním nenulovým číslem více nul než řádek přechozí. Pokud řádek neobsahuje nenulové číslo, je na konci.
Transponovaná matice $A^{T}$: Řádky a sloupce z $A$ má prohozené.
Hodnost (rank): Počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců matice. Ten menší z nich.

Sčítání matic

Matice musí mít stejné rozměry. Sčítám skaláry na stejných souřadnicích.

Násobení matice maticí

Pro matici $A = (a_{i, j})$ typu $m ∣ n$ a matici $B = (b_{j, k})$ typu $n ∣ q$ na okruhem skaláru $K$ je součin $C = A \cdot B = (c_{i, k})$ matice typu $m ∣ q$ , kde

c_{i_{j}} = j = 1 \sum n a_{i, j} \cdot b_{j, k}, kde 1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq q

Note	Hlavně si pamatuj, že řádkem z $A$ násobíš sloupec z $B$ . To pořadí je stejné jako souřadnice prvků matice.

Jako systém lineárních rovnic

Matice se dá použít k zápisu systému lineárních rovnic.

Přepíš soustavu do tvaru rozšířené matice.
Převeď matici do schodovitého tvaru pomocí elementářních řádkových úprav. Můžeš:
- Vyměnit dva řádky.
- Vynásobit řádek nenulovým skalárem.
- Přičíst řádek k jinému řádku.
Zpětně dopočítej hodnoty proměnných odpovídajích sloupců.

Pokud vyjde např. $0 x = 1$ , soustava rovnic nemá řešení.

Pokud v matici vyjde nulový řádek, má soustava rovnic nekonečně mnoho řešení. Výsledek je parametrizovaný.

Gaussova eliminace

Metoda úpravy matice pomocí elementárních řádkových operací, kterou lze použít k řešení systému lineárních rovnic, výpočtu hodnosti matice, výpočtu determinantu a nalezení inverzní matice. Cílem je dostat matici do tvaru row echelon form.

Reduced Row Echelon Form

Nulové řádky jsou úplně dole.
Vedoucí (první nenulové) číslo řádku je vždy napravo od vedoucího čísla řádku předešlého.
Na každém řádku je vedoucím číslem 1.
Každý sloupec obsahující 1, má 0 všude jinde.

100010 a_{1} a_{2} 0 001 b_{1} b_{2} b_{3}

Note	V row echelon form musí nuly být jen pod vedoucím číslem, které nemusí být jedna.

Determinant

Zobrazení, které přiřadí čtvercové matici $A$ skalár $∣ A ∣$ (někdy $det A$ ).

∣ A ∣ = σ \in Σ_{n} \sum sgn (σ) \cdot a_{1, σ (1)} \cdot a_{2, σ (2)} \cdot .... \cdot a_{n, σ (n)},

kde

$Σ_{n}$ je množina všech permutací ${1, ..., n}$ a
$s g n (σ)$ je znaménko permutace $σ$ dané $(- 1)^{po \overset{c}{ˇ} et inverz \overset{ı}{ˊ}}$ , kde
- inverze permutace je, když pro dva prvky permutace $a, b$ platí $a < b$ , ale $σ (a) > σ (b)$ .

Vlastnosti determinantu

Geometricky, determinant je objem rovnoběžnostěnu, který tvoří báze vektorů.
Pokud $A$ obsahuje nulový řádek, $det A = 0$ .
Pokud je $A$ schodovitá, determinant je součin prvků na diagonále.
$det A = det A^{T}$
$det (A \cdot B) = det A \cdot det B$
Při Gaussově eliminaci:
- Přičtením jednoho řádku k druhému se determinant nemění.
- Vynásobením řádku nenulovou konstantou, je determinant vynásoben tou samou konstantou. (Musíme dělit.)
- Prohození dvou řádků matice změní znaménko determinantu. (Musíme násobit -1.)

Laplaceův rozvoj pro výpočet determinantu

Vyber z matice řádek nebo sloupec, který obsahuje nejvíc nul.
Pro nenulové prvky vypočítej jejich minor (determinant matice, která neobsahuje řádek a sloupec prvku).
Vynásob minory jejich příslušným prvkem a $s g n (i + j)$ , kde $i, j$ jsou souřadnice prvku.
Všechno to sečti.

Podle řádku $i$ :

det A = j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} \cdot a_{i, j} \cdot M_{i, j}^{A},

kde $M_{i, j}^{A}$ je minor podle prvku $a_{i, j}$ .

Příklad: $A = 1007035004602008$

Volíme řádek 1, tedy počítáme minory $M_{1, 1}^{A}$ a $M_{1, 4}^{A}$ :

$M_{1, 1} = d e t 350460008 = ... = 8 \cdot (3 \cdot 6 - 4 \cdot 5) = - 16$

$M_{1, 4} = d e t 007350460 = ... = 7 \cdot (3 \cdot 6 - 4 \cdot 5) = - 14$

Tedy ve výsledku

$det A = (- 1)^{1 + 1} \cdot 1 \cdot (- 16) + (- 1)^{1 + 4} \cdot 2 \cdot (- 14) = - 16 + 28 = 12$